Trigunumitria

A trigunumitria (o trigonomitria) (da u grecu trígonon (τρίγωνον, triangulu) è métron (μέτρον, misura): risuluzioni di u triangulu) hè a parti di a matematica chì studieghja i trianguli à parta da i so anguli. U scopu principali di a trigunumitria, com'edda a svela l'etimulugia di u nomu, cunsisti in u calculamentu di i misuri chì carattarizeghjani l'elementi d'un triangulu (lati, anguli, mediane, etc.) partendu da altri misuri ghjà cunnisciuti (almenu trè, frà i quali almenu una lunghezza), par mezu di funzioni spiciali. Si riferisci à tali scopu com'è risuluzioni di u triangulu. Hè ancu pussibuli di serva si di calculi trigunumetrichi in a risuluzioni di prublemi currilati à figuri giumetrichi più cumplessi, com'è puliguni o figuri giumetrichi solidi, è in molti altri rami di a matematica.

I funzioni trigunumetrichi (i più impurtanti di i quali sò u sinu è u cusinu), intrudutti in stu duminiu, sò ancu imprudati in modu indipindenti da a giumitria, è dinò in altri campi di a matematica è di i so applicazioni, par asempiu in cunnissioni incù a funzioni espuninziali o incù i uparazioni vitturiali.

L'urighjini

Duranti molti seculi, a trigunumitria duviti i so prugressi guasi esclusivamenti à l'opara di grandi astrunomi è giugrafi. Infatti, a fundazioni di sta scenza si devi à Ipparco di Nicea è à Claudiu Tolomeo, tremindù più astrunomi è giugrafi ch'è matematichi. Cuntributi nutevuli funi arricati à sta scenza da l'arabi, da u francesu Levi ben Gershon è, più dopu, da Niccolò Copernicu è Tycho Brahe, intenti à discriva è à priveda incù sempri una più grandi pricisioni i finomini cilesti, ancu par un più asattu è faciuli calculu di longitudini è latitudini.

Funzioni trigunumetrichi

Strumentu indispinsevuli di a trigunumitria sò i funzioni trigunumetrichi. Sò sti funzioni chì associani i lunghezzi à l'anguli, è viciversa. I tavuleddi in sta sizzioni mostrani i funzioni trigunumetrichi à tempu à i so principali prubità.

Funzioni trigunumetrichi diretti

Sò ditti funzioni trigunumetrichi diretti quiddi chì à un angulu, di solitu aspressu in radianti, associani una lunghezza o un rapportu frà lunghezzi. A causa di l'equivalenza circulari di l'anguli, tutti i funzioni trigunumetrichi diretti sò ancu funzioni periodichi incù periodu $\pi$ o $2\pi$ .

Funzioni trigunumetrichi diretti
Funzioni	Nutazioni	Duminiu	Cuduminiu	Radichi	Periodu	Funzioni inversa
sinu	sen, sin	$\mathbb {R}$	$\left[-1,1\right]$	$\mathbb {Z} \pi$	$2\pi$	arcusinu
cusinu	cos	$\mathbb {R}$	$\left[-1,1\right]$	${\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$	$2\pi$	arcucusinu
tangenti	tan, tg	$\mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {Z} \pi$	$\pi$	arcutangenti
cutangenti	cot, cotg, ctg	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi$	$\mathbb {R}$	${\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$	$\pi$	arcucutangenti
secanti	sec	$\mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)$	$\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$	nisciuna	$2\pi$	arcusecanti
cusecanti	csc, cosec	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi$	$\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$	nisciuna	$2\pi$	arcucusecanti

Funzioni trigunumetrichi inversi

À ogni funzioni trigunumetrica diretta hè assuciata una funzioni inversa. U duminiu di ognuna funzioni trigunumetrica inversa currispondi, com'hè prividibuli, à u cuduminiu di a funzioni diretta rispittiva. Apposta ch'è i funzioni diretti sò, puri, periodichi, è parciò micca iniittivi, par pudè li invirsà hè nicissariu à ristringhja ni u duminiu rindendu li biiettivi. A scelta di a ristrizzioni hè tiuricamenti irrilevanti è i pussibilità sò infiniti. A cunvinzioni (rigida, in stu campu) voli parò ch'è i duminii fussini ristretti à l'intarvalli $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ oppuri $\left[0,\pi \right]$ , in i quali i funzioni — è dunqua ancu i so inversi — sò munotuni. Ancu i funzioni arcusecanti è arcucusecanti sò difiniti da l'invirsioni di i funzioni diretti ristretti à un di ss'intarvalli.

Funzioni trigunumetrichi inversi
Funzioni	Nutazioni	Duminiu	Cuduminiu	Radichi	Andamentu	Funzioni inversa
arcusinu	arcsen, arcsin, asin, sen⁻¹^[1]	$\left[-1,1\right]$	$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$	0	$\nearrow$	sinu
arcucusinu	arccos, acos, cos⁻¹	$\left[-1,1\right]$	$\left[0,\pi \right]$	1	$\searrow$	cusinu
arcutangenti	arctan, arctg, atan, tan⁻¹	$\mathbb {R}$	$\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$	0	$\nearrow$	tangenti
arcucutangenti	arccot, arccotg, arcctg, acot, cot⁻¹	$\mathbb {R}$	$\left(0,\pi \right)$	$+\infty$	$\searrow$	cutangenti
arcusecanti	arcsec, asec, sec⁻¹	$\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$	$\left[0,\pi \right]$	1	criscenti, incù una discuntinuità in $\left[-1,1\right]$	secanti
arcucusecanti	arccsc, arccosec, acsc, csc⁻¹	$\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$	$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$	$\pm \infty$	dicriscenti, incù una discuntinuità in $\left[-1,1\right]$	cusecanti

Rilazioni fundamintali di a guniumitria

Prima rilazioni fundamintali

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$

da quissa s'utteni

$\cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}$

$\sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}$

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di $\alpha$ par a scelta oppurtuna di i cenni

Siconda rilazioni fundamintali

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

chì vali solu par $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

Terza rilazioni fundamintali

$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }}$

chì vali solu par $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

da quissa s'utteni

$\cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}$

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di $\alpha$ par a scelta oppurtuna di i cenni.

Formuli di l'anguli assuciati

In a circumfarenza guniumetrica si chjamani anguli assuciati l'anguli $\alpha$ , $\pi -\alpha$ , $\pi +\alpha$ è $2\pi -\alpha$ . 'Ss'anguli ani in valori assulutu listessu sinu è listessu cusinu.

Formuli di l'anguli assuciati di u sicondu quadranti

$\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$

$\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$

$\tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

Formuli di l'anguli assuciati di u terzu quadranti

$\cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha$

$\sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha$

$\tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha$

Formuli di l'anguli assuciati à u quartu quadranti

$\cos(2\pi -\alpha )=\cos \alpha$

$\sin(2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$

$\tan(2\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

Formuli di l'anguli opposti

$\cos(-\alpha )=\cos \alpha$

$\sin(-\alpha )=-\sin \alpha$

$\tan(-\alpha )=-\tan \alpha$

Si dici ch'è $\cos \alpha$ hè una funzioni para, mentri $\sin \alpha$ è $\tan \alpha$ sò dispari.

Formuli di l'anguli cumplimintarii (a so somma hè un angulu rettu)

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha$

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha$

$\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha$

Formuli di l'anguli chì sò diffarenti d'un angulu rettu

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha$

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha$

$\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha$

Formuli guniumetrichi

In trigunumitria, i formuli d'addizioni è suttrazzioni parmettini di trasfurmà i funzioni trigunumetrichi di l'addizioni o diffarenza di dui anguli in un'esprissioni cumposta da funzioni trigunumetrichi di i dui anguli.

Formuli d'addizioni

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$
$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}$

A formula di a tangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

A formula di a cutangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

Formuli di suttrazzioni

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta$
$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$
$\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}$

A formula di a tangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

A formula di a cutangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

Formuli di duplicazioni

$\sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$

$\tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

L'ultima formula vali par $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ è $\alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

Formuli di liniarità

$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}$

$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}$

$\tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}$

L'ultima formula vali par $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

Formuli di bisizzioni

Attinzioni: hè nicissariu à valutà in qualessu quadranti cadi ${\frac {\alpha }{2}}$ par pudè sceglia i cenni oppurtuni di i siguenti formuli

$\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}$

$\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}$

$\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$

L'ultima formula vali par $\alpha \neq \pi +2k\pi$ .

Formuli parametrichi

$\cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

$\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

$\tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}$

induva $t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ incù $\alpha \neq \pi +2k\pi$ .

Formuli di prustaferesi

$\sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)$

$\sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)$

$\cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)$

$\cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)$

I furmuli di prustaferesi trasformani i sommi di funzioni guniumetrichi in prudutti.

Formuli di Werner (inversi di i formuli di prustaferesi)

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]$

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]$

$\sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right]$

$\cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right]$

I furmuli di Werner trasformani i prudutti di funzioni guniumetrichi in sommi.

Formuli di l'angulu aghjuntu

$a\sin x+b\cos x=A\sin(x+\phi )$

A siguenti ugualità hè virificata sottu i siguenti cundizioni

$A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

{\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{cases}}

\tan \phi ={\frac {b}{a}}

Ci voli à tena menti ch'è a tangenti guniumetrica hè piriodica di 180° è dunqua bisogna à valutà priventivamenti a pusizioni di $\phi$ è dunqua

\phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}})&{\mbox{s'è }}a>0\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi &{\mbox{s'è }}a<0\end{cases}}

Risuluzioni di i trianguli rittanguli

Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu rittangulu

In u ghjergu matematicu "risolva un triangulu rittangulu" significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par cunvinzioni esisti una numinclatura in i trianguli rittanguli chì si pò veda nantu à a figura. Ci voli à ricurdà si ch'è

$\alpha =90^{o}$ è $\beta +\gamma =90^{o}$
un angulu hè aghjacenti à un catetu s'è u catetu hè un di i lati di l'angulu in quistioni.
un angulu hè oppostu à un catetu s'è u catetu ùn hè micca un di i lati di l'angulu in quistioni.

Par asempiu $\beta$ hè oppostu à u catetu $b$ è aghjacenti à u catetu $c$ .

Sottu sti cunvinzioni in un triangulu rittangulu privalini i siguenti tiuremi

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u sinu di l'angulu oppostu à u catetu

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u cusinu di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a tangenti di l'angulu oppostu à u catetu da calculà.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a cutangenti di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu da calculà.

'Ssi tiuremi si traducini in i siguenti formuli par a risuluzioni di i trianguli rittanguli

a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \sin \gamma

 $a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \cos \gamma$

{\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan \gamma

 ${\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \cot \gamma$

a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta

 $a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \cos \beta$

{\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta

 ${\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \cot \beta$

Dimustrazioni

Si cunsidareghja un triangulu rittangulu $ABC$ incù angulu rettu di vertici $A$ . Dittu $CA$ l'assu $x$ , nantu à u vertici $C$ si custruisci una circumfarenza di raghju $CP=1$ . I cuurdinati di u puntu $P$ rapprisentani u $\cos \gamma$ è u $\operatorname {sen} \gamma$ , è apposta ch'è $\gamma$ hè acutu indicheghjani ancu rispittivamenti i lunghezzi di i cateti $CH$ è $PH$ .

Dimustrazioni di i formuli di u triangulu rittangulu

.

Da a figura si pò ussirvà ch'è i dui trianguli rittanguli $ABC$ è $HPC$ sò simili in quantu ani dui anguli cungruenti: $\gamma$ in cumunu è l'anguli retti di vertici $A$ è $H$ . Hè pussibuli cusì à custruiscia a prupurzioni frà i lati omologhi di i dui trianguli simili (lati opposti à l'anguli cungruenti):

{\frac {\overline {BC}}{\overline {PC}}}={\frac {\overline {BA}}{\overline {PH}}}={\frac {\overline {CA}}{\overline {CH}}}

Sustituiscendu i misuri di i lati s'otteni

{\frac {a}{1}}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\cos \gamma }}

è cusì

a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \sin \gamma

 $a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \cos \gamma$

da quissa dui s'utteni ancu

{\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan \gamma

 ${\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \cot \gamma$

Stu raghjunamentu pò essa chjaramenti stesu ancu à u terzu angulu $\beta$ in modu da ottena formuli analoghi

a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta

 $a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \cos \beta$

{\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta

 ${\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \cot \beta$

Applicazioni nutevuli di i trianguli rittanguli

Calculu di l'altezza d'una torra

Si cunsidareghja u siguenti prublemu: calculà l'altezza d'una torra $AB$ , cunniscendu solu a so basa (pianu orizuntali). Si distinguini dui casi

U pedi A di a torra hè raghjunghjibuli

Calculu altezza d'una torra incù u pedi A raghjunghjibuli

In stu casu basta à misurà u catetu $AC$ ( $b$ ), è da u puntu $C$ misurà l'angulu acutu $ACB$ ( $\gamma$ ) sottu à qualessu si vedi a summità di a torra $AB$ ( $c$ ). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

h_{torra}=c=b\cdot \tan \gamma

U pedi A di a torra ùn hè micca raghjunghjibuli

Calculu altezza d'una torra incù pedi A micca raghjunghjibuli

In stu casu $AC$ ( $b_{1}=x$ ) hè scunnisciuta (in quantu u pedi $A$ ùn hè micca raghjunghjibuli). Si faci dunqua una misura orizuntali $CD$ ( $di$ ) (cusì u catetu $AD$ hè $b_{2}=x+di$ ). Da u puntu $C$ si misura l'angulu acutu $ACB$ ( $\gamma _{1}$ ) è da $D$ si misura l'angulu acutu $ADB$ ( $\gamma _{2}$ ) sottu à u quali si vedi a summità di a torra $AB$ ( $c$ ). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

h_{torra}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}=x\cdot \tan \gamma _{1}

 $h_{torra}=c=b_{2}\cdot \tan \gamma _{2}=(x+di)\cdot \tan \gamma _{2}$

Confruntendu i dui altezzi s'otteni un'equazioni in a scunnisciuta $x$

x\cdot \tan \gamma _{1}=(x+di)\cdot \tan \gamma _{2}

st'equazioni hè faciulamenti solubili cunnisciuti i $\gamma _{1}$ è $\gamma _{2}$

Truvatu $x$ s'hà $b_{1}$ è cusì si pò calculà

h_{torra}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}

Calculu di l'aria d'un triangulu qualsiasi

l'altezza h pò essa vista com'è catetu di u triangulu CHA

Par calculà l'aria di u triangulu $ABC$ , di basa $CB=a$ , servi l'altezza $AH$ . In u triangulu rittangulu $CHA$ , d'iputenusa $AC=b$ , l'altezza $AH=h$ pò essa vista com'è u catetu chì s'opponi à l'angulu $\gamma$ . Imprudendu in modu oppurtunu i formuli di i trianguli rittanguli s'otteni

AH=h=b\cdot \sin \gamma

è cusì

Aria={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma

Sta formula vali ancu s'è $\gamma$ hè ottusu.

Formuli di cunvirsioni da cuurdinati pularii a cuurdinati cartisiani è viciversa

Cuurdinati pularii è cuurdinati cartisiani

Fissatu annantu à un pianu un puntu urighjina $O(0;0)$ è una mezaretta $Or$ , datu un puntu $P$ di u pianu chì hè univucamenti individuatu da un paghju di numari riali $(\rho ,\theta )$ incù a cundizioni $\rho >0$ è $0\leq \theta <360^{o}$ . A coppia di numari riali rapprisentani i cuurdinati pularii di $P$ . Giumitricamenti $\rho$ ripprisenta a distanza $OP$ , mentri $\theta$ ripprisenta l'angulu $rOP$ misuratu in sensu antiurariu incù prima latu $Or$ .

Hè pussibuli à truvà i rilazioni esistenti trà i cuurdinati cartisiani $(x;y)$ è i cuurdinati pularii $(\rho ;\theta )$ di u puntu $P$ . I siguenti cunsidarazioni fatti par un puntu $P$ nantu à u prima quadranti valini ancu par l'altri quadranti.

Imprudendu i formuli di i trianguli rittanguli si trovani i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati cartisiani

{\begin{cases}x=\rho \cdot \cos \theta \\y=\rho \cdot \sin \theta \end{cases}}

Elevendu à u quatratu è summendu s'otteni $x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}$ è cusì si poni ritruvà i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati pularii

{\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\rho }}\\\sin \theta ={\frac {y}{\rho }}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{cases}}

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\tan \theta =y/x\end{cases}}

Ci voli à fà attinzioni ch'è a tangenti guniumetrica ùn esisti micca par $x=0$ ed hè piriodica di 180° è dunqua ci voli à valutà priventivamenti a pusizioni di $P$ par calculà di manera curretta $\theta$

\theta ={\begin{cases}\arctan(y/x)&{\text{s'è }}x>0\\\arctan(y/x)+\pi &{\text{s'è }}x<0\end{cases}}

Tiuremi trigunumetrichi

I tiuremi trigunumetrichi parmettini a risuluzioni di prublemi di natura diffarenti liata à a figura d'un triangulu qualsiasi, sprimendu i rapporti trà i lati è l'anguli di quist'ultimu.

Tiurema di a corda

File:Teorema della corda.png

Tiurema di a corda in una circumfarenza

Data una circumfarenza è una corda $AB$ , u rapportu trà 'ssa corda è u sinu d'un qualsiasi angulu à a circumfarenza ch'è/chì insiste annantu à d'edda hè uguali à u diamitru di a circumfarenza:

{\frac {\overline {AB}}{\sin {\widehat {C}}}}=2r.

Tiurema di i sini

Cunsidaratu un triangulu qualsiasi di lati $a$ , $b$ è $c$ , u rapportu trà i lati è i sini di l'anguli opposti rispittivi hè custanti è hè uguali à u diamitru di a circumfarenza circuscritta:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r.

Tiurema di u cusinu o di Carnot

U tiurema di u cusinu (chjamatu ancu tiurema di Carnot) afferma ch'è in un qualsiasi triangulu, u quatratu d'un latu hè uguali à a diffarenza trà a somma di i quatrati di l'altri dui lati è u doppiu pruduttu di 'ssi lati par u cusinu di l'angulu cumpresu trà eddi.

{\overline {BA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma

.

Vali à dì, indichendu incù $a,b,c$ a lunghezza di i lati è $\alpha ,\beta ,\gamma$ l'anguli à eddi opposti, s'otteni

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma

Pò essa cunsidaratu una generalisazioni di u Tiurema di Pitagora.

Risuluzioni di i trianguli qualsiasi

Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu

In u ghjergu matematicu risolva un triangulu significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par risolva un triangulu qualsiasi devini essa cunnisciuti trè elementi frà i quali almenu unu devi essa un latu. Si poni prisintà quattru casi:

sò cunnisciuti un latu è dui anguli
sò cunnisciuti trè lati
sò cunnisciuti dui lati è l'angulu cumpresu
sò cunnisciuti dui lati è un di i dui anguli opposti à i lati dati

A numinclatura di i lati è di l'anguli segue a cunvinzioni nantu à a figura.

Risolva un triangulu cunnisciuti un latu (a) è dui anguli $(\alpha ,\beta )$

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i siguenti cundizioni

\alpha +\beta <180^{o}

in casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

Calculà l'angulu mancanti $\gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )$
Calculà u latu scunnisciutu $b$ imprudendu u tiurema di i sini: ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}$
Calculà u latu scunnisciutu $c$ imprudendu u tiurema di i sini: ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Risolva un triangulu cunnisciuti i trè lati (a, b, c)

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i disugualità triangulari. In casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

calculà l'angulu $\alpha$ par via di u tiurema di u cusinu: $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$
calculà l'angulu $\beta$ par via di u tiurema di u cusinu: $\cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$
calculà l'angulu mancanti $\gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )$

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu cumpresu $(\gamma )$

U prublemu hà sempri una sola suluzioni

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

calculà u latu $c$ (oppostu à l'angulu $\gamma$ ) par via di u tiurema di u cusinu: $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$
calculà l'angulu $\alpha$ (oppostu à u latu a) par via di u tiurema di u cusinu: $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$
calculà l'angulu mancanti $\beta =180^{o}-(\gamma +\alpha )$

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu $\alpha$ oppostu à u latu a

U prublemu pò avè nisciuna suluzioni, una suluzioni o dui suluzioni.

Si calculeghja l'angulu scunnisciutu $\beta$ incù u tiurema di i sini ${\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\sin \alpha }}$
S'è $\alpha$ hè ottusu si uttinarà un solu angulu $\beta _{1}$ acutu, altrimenti si trova ancu $\beta _{2}=180^{o}-\beta _{1}$ .
Si calculeghja $\gamma _{1}=180^{o}-(\beta _{1}+\alpha )$ è eventualmenti $\gamma _{2}=180^{o}-(\beta _{2}+\alpha )$
Si calculeghja $c_{1}$ è eventualmente $c_{2}$ imprudendu u tiurema di i sini ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Etimulugia di i noma

Com'è par u restu di i lingui rumanichi, a lingua corsa teni i noma di i funzioni trigunumetrichi da i paroli currispundenti latini. A parola tangenti hè da latinu tangens, littiralamenti "chì tocca", in rifirimentu à i prubità giumetrichi di u sigmentu imprudatu par a difinizioni grafica di sta funzioni. Analugamenti si spiega l'etimulugia di a secanti, in latinu secans, "chì taglia". I paroli cusinu, cutangenti è cusecanti diriveghjani da a cuntrazzioni di i rispittivi paroli latini cumplimenti sinus, cumplimenti tangens, cumplimenti secans, vali a dì "sinu di l'angulu cumplimintariu", "tangenti di l'angulu cumplimintaria", "secanti di l'angulu cumplimintariu".

Noti

↑ I nutazioni incù espunenti negativu usati par i funzioni sin⁻¹, cos⁻¹, etc. (usati à spessu in i calculatrici scentifichi) ùn facini micca rifirimentu à i putenzi, ma indicheghjani solu u fattu ch'eddi sò i funzioni inversi di i funzioni trigunumetrichi rispittivi. Par via di cunsiquenza, à menu ch'eddu ùn fussi esplicitamenti indicatu, s'utteni:
$\sin ^{-1}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.$

Da veda dinò

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.

[1] I nutazioni incù espunenti negativu usati par i funzioni sin⁻¹, cos⁻¹, etc. (usati à spessu in i calculatrici scentifichi) ùn facini micca rifirimentu à i putenzi, ma indicheghjani solu u fattu ch'eddi sò i funzioni inversi di i funzioni trigunumetrichi rispittivi. Par via di cunsiquenza, à menu ch'eddu ùn fussi esplicitamenti indicatu, s'utteni:
$\sin ^{-1}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.$

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