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Funzioni trigunumetrichi ripprisintati graficamenti

A trigunumitria (o trigonomitria) (da u grecu trígonon (τρίγωνον, triangulu) è métron (μέτρον, misura): risuluzioni di u triangulu) hè a parti di a matematica chì studieghja i trianguli à parta da i so anguli. U scopu principali di a trigunumitria, com'edda a svela l'etimulugia di u nomu, cunsisti in u calculamentu di i misuri chì carattarizeghjani l'elementi d'un triangulu (lati, anguli, mediane, etc.) partendu da altri misuri ghjà cunnisciuti (almenu trè, frà i quali almenu una lunghezza), par mezu di funzioni spiciali. Si riferisci à tali scopu com'è risuluzioni di u triangulu. Hè ancu pussibuli di serva si di calculi trigunumetrichi in a risuluzioni di prublemi currilati à figuri giumetrichi più cumplessi, com'è puliguni o figuri giumetrichi solidi, è in molti altri rami di a matematica.

I funzioni trigunumetrichi (i più impurtanti di i quali sò u sinu è u cusinu), intrudutti in stu duminiu, sò ancu imprudati in modu indipindenti da a giumitria, è dinò in altri campi di a matematica è di i so applicazioni, par asempiu in cunnissioni incù a funzioni espuninziali o incù i uparazioni vitturiali.

Cuntenutu

L'urighjiniMudificà

Duranti molti seculi, a trigunumitria duviti i so prugressi guasi esclusivamenti à l'opara di grandi astrunomi è giugrafi. Infatti, a fundazioni di sta scenza si devi à Ipparco di Nicea è à Claudiu Tolomeo, tremindù più astrunomi è giugrafi ch'è matematichi. Cuntributi nutevuli funi arricati à sta scenza da l'arabi, da u francesu Levi ben Gershon è, più dopu, da Niccolò Copernicu è Tycho Brahe, intenti à discriva è à priveda incù sempri una più grandi pricisioni i finomini cilesti, ancu par un più asattu è faciuli calculu di longitudini è latitudini.

Funzioni trigunumetrichiMudificà

Strumentu indispinsevuli di a trigunumitria sò i funzioni trigunumetrichi. Sò sti funzioni chì associani i lunghezzi à l'anguli, è viciversa. I tavuleddi in sta sizzioni mostrani i funzioni trigunumetrichi à tempu à i so principali prubità.

Funzioni trigunumetrichi direttiMudificà

Sò ditti funzioni trigunumetrichi diretti quiddi chì à un angulu, di solitu aspressu in radianti, associani una lunghezza o un rapportu frà lunghezzi. A causa di l'equivalenza circulari di l'anguli, tutti i funzioni trigunumetrichi diretti sò ancu funzioni periodichi incù periodu   o  .

Funzioni trigunumetrichi diretti
Funzioni Nutazioni Duminiu Cuduminiu Radichi Periodu Funzioni inversa
sinu sen, sin         arcusinu
cusinu cos         arcucusinu
tangenti tan, tg         arcutangenti
cutangenti cot, cotg, ctg         arcucutangenti
secanti sec     nisciuna   arcusecanti
cusecanti csc, cosec     nisciuna   arcucusecanti

Funzioni trigunumetrichi inversiMudificà

À ogni funzioni trigunumetrica diretta hè assuciata una funzioni inversa. U duminiu di ognuna funzioni trigunumetrica inversa currispondi, com'hè prividibuli, à u cuduminiu di a funzioni diretta rispittiva. Apposta ch'è i funzioni diretti sò, puri, periodichi, è parciò micca iniittivi, par pudè li invirsà hè nicissariu à ristringhja ni u duminiu rindendu li biiettivi. A scelta di a ristrizzioni hè tiuricamenti irrilevanti è i pussibilità sò infiniti. A cunvinzioni (rigida, in stu campu) voli parò ch'è i duminii fussini ristretti à l'intarvalli   oppuri  , in i quali i funzioni — è dunqua ancu i so inversi — sò munotuni. Ancu i funzioni arcusecanti è arcucusecanti sò difiniti da l'invirsioni di i funzioni diretti ristretti à un di ss'intarvalli.

Funzioni trigunumetrichi inversi
Funzioni Nutazioni Duminiu Cuduminiu Radichi Andamentu Funzioni inversa
arcusinu arcsen, arcsin, asin,

sen−1[1]

    0   sinu
arcucusinu arccos, acos,

cos−1

    1   cusinu
arcutangenti arctan, arctg, atan,

tan−1

    0   tangenti
arcucutangenti arccot, arccotg, arcctg, acot,

cot−1

        cutangenti
arcusecanti arcsec, asec,

sec−1

    1 criscenti, incù una discuntinuità in   secanti
arcucusecanti arccsc, arccosec, acsc,

csc−1

      dicriscenti, incù una discuntinuità in   cusecanti

Rilazioni fundamintali di a guniumitriaMudificà

Prima rilazioni fundamintaliMudificà

 

da quissa s'utteni

 

 

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di   par a scelta oppurtuna di i cenni

Siconda rilazioni fundamintaliMudificà

 

chì vali solu par   incù  

Terza rilazioni fundamintaliMudificà

 

chì vali solu par   incù  

da quissa s'utteni

 

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di   par a scelta oppurtuna di i cenni.

Formuli di l'anguli assuciatiMudificà

In a circumfarenza guniumetrica si chjamani anguli assuciati l'anguli  ,  ,   è  . 'Ss'anguli ani in valori assulutu listessu sinu è listessu cusinu.

Formuli di l'anguli assuciati di u sicondu quadrantiMudificà

 

 

 

Formuli di l'anguli assuciati di u terzu quadrantiMudificà

 

 

 

Formuli di l'anguli assuciati à u quartu quadrantiMudificà

 

 

 

Formuli di l'anguli oppostiMudificà

 

 

 

Si dici ch'è   hè una funzioni para, mentri   è   sò dispari.

Formuli di l'anguli cumplimintarii (a so somma hè un angulu rettu)Mudificà

 

 

 

Formuli di l'anguli chì sò diffarenti d'un angulu rettuMudificà

 

 

 

Formuli guniumetrichiMudificà

In trigunumitria, i formuli d'addizioni è suttrazzioni parmettini di trasfurmà i funzioni trigunumetrichi di l'addizioni o diffarenza di dui anguli in un'esprissioni cumposta da funzioni trigunumetrichi di i dui anguli.

Formuli d'addizioniMudificà

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A formula di a tangenti vali par   incù  

A formula di a cutangenti vali par   incù  

Formuli di suttrazzioniMudificà

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  •  
  •  

A formula di a tangenti vali par   incù  

A formula di a cutangenti vali par   incù  

Formuli di duplicazioniMudificà

  •  
  •  
  •  

L'ultima formula vali par   è   incù  

Formuli di liniaritàMudificà

  •  
  •  
  •  

L'ultima formula vali par   incù  

Formuli di bisizzioniMudificà

Attinzioni: hè nicissariu à valutà in qualessu quadranti cadi   par pudè sceglia i cenni oppurtuni di i siguenti formuli

  •  
  •  
  •  

L'ultima formula vali par  .

Formuli parametrichiMudificà

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induva   incù  .

Formuli di prustaferesiMudificà

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I furmuli di prustaferesi trasformani i sommi di funzioni guniumetrichi in prudutti.

Formuli di Werner (inversi di i formuli di prustaferesi)Mudificà

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I furmuli di Werner trasformani i prudutti di funzioni guniumetrichi in sommi.

Formuli di l'angulu aghjuntuMudificà

  •  

A siguenti ugualità hè virificata sottu i siguenti cundizioni

 

 
 

Ci voli à tena menti ch'è a tangenti guniumetrica hè piriodica di 180° è dunqua bisogna à valutà priventivamenti a pusizioni di   è dunqua

 

Risuluzioni di i trianguli rittanguliMudificà

 
Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu rittangulu

In u ghjergu matematicu "risolva un triangulu rittangulu" significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par cunvinzioni esisti una numinclatura in i trianguli rittanguli chì si pò veda nantu à a figura. Ci voli à ricurdà si ch'è

  •   è  
  • un angulu hè aghjacenti à un catetu s'è u catetu hè un di i lati di l'angulu in quistioni.
  • un angulu hè oppostu à un catetu s'è u catetu ùn hè micca un di i lati di l'angulu in quistioni.

Par asempiu   hè oppostu à u catetu   è aghjacenti à u catetu  .

Sottu sti cunvinzioni in un triangulu rittangulu privalini i siguenti tiuremi

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u sinu di l'angulu oppostu à u catetu

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u cusinu di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a tangenti di l'angulu oppostu à u catetu da calculà.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a cutangenti di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu da calculà.

'Ssi tiuremi si traducini in i siguenti formuli par a risuluzioni di i trianguli rittanguli

 
 
 
 
 
 
 
 

DimustrazioniMudificà

Si cunsidareghja un triangulu rittangulu   incù angulu rettu di vertici  . Dittu   l'assu  , nantu à u vertici   si custruisci una circumfarenza di raghju  . I cuurdinati di u puntu   rapprisentani u   è u  , è apposta ch'è   hè acutu indicheghjani ancu rispittivamenti i lunghezzi di i cateti   è  .

 
Dimustrazioni di i formuli di u triangulu rittangulu

.

Da a figura si pò ussirvà ch'è i dui trianguli rittanguli   è   sò simili in quantu ani dui anguli cungruenti:   in cumunu è l'anguli retti di vertici   è  . Hè pussibuli cusì à custruiscia a prupurzioni frà i lati omologhi di i dui trianguli simili (lati opposti à l'anguli cungruenti):

 

Sustituiscendu i misuri di i lati s'otteni

 

è cusì

 
 

da quissa dui s'utteni ancu

 
 

Stu raghjunamentu pò essa chjaramenti stesu ancu à u terzu angulu   in modu da ottena formuli analoghi

 
 
 
 

Applicazioni nutevuli di i trianguli rittanguliMudificà

Calculu di l'altezza d'una torraMudificà

Si cunsidareghja u siguenti prublemu: calculà l'altezza d'una torra  , cunniscendu solu a so basa (pianu orizuntali). Si distinguini dui casi

U pedi A di a torra hè raghjunghjibuliMudificà

 
Calculu altezza d'una torra incù u pedi A raghjunghjibuli

In stu casu basta à misurà u catetu   ( ), è da u puntu   misurà l'angulu acutu   ( ) sottu à qualessu si vedi a summità di a torra   ( ). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

 

U pedi A di a torra ùn hè micca raghjunghjibuliMudificà

 
Calculu altezza d'una torra incù pedi A micca raghjunghjibuli

In stu casu   ( ) hè scunnisciuta (in quantu u pedi   ùn hè micca raghjunghjibuli). Si faci dunqua una misura orizuntali   ( ) (cusì u catetu   ). Da u puntu   si misura l'angulu acutu   ( ) è da   si misura l'angulu acutu   ( ) sottu à u quali si vedi a summità di a torra   ( ). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

 
 


Confruntendu i dui altezzi s'otteni un'equazioni in a scunnisciuta  

 

st'equazioni hè faciulamenti solubili cunnisciuti i   è  

Truvatu   s'hà   è cusì si pò calculà

 

Calculu di l'aria d'un triangulu qualsiasiMudificà

 
l'altezza h pò essa vista com'è catetu di u triangulu CHA

Par calculà l'aria di u triangulu  , di basa  , servi l'altezza  . In u triangulu rittangulu  , d'iputenusa  , l'altezza   pò essa vista com'è u catetu chì s'opponi à l'angulu  . Imprudendu in modu oppurtunu i formuli di i trianguli rittanguli s'otteni

 

è cusì

 

Sta formula vali ancu s'è   hè ottusu.

Formuli di cunvirsioni da cuurdinati pularii a cuurdinati cartisiani è viciversaMudificà

 
Cuurdinati pularii è cuurdinati cartisiani

Fissatu annantu à un pianu un puntu urighjina   è una mezaretta  , datu un puntu   di u pianu chì hè univucamenti individuatu da un paghju di numari riali   incù a cundizioni   è  . A coppia di numari riali rapprisentani i cuurdinati pularii di  . Giumitricamenti   ripprisenta a distanza  , mentri   ripprisenta l'angulu   misuratu in sensu antiurariu incù prima latu  .

Hè pussibuli à truvà i rilazioni esistenti trà i cuurdinati cartisiani   è i cuurdinati pularii   di u puntu  . I siguenti cunsidarazioni fatti par un puntu   nantu à u prima quadranti valini ancu par l'altri quadranti.

Imprudendu i formuli di i trianguli rittanguli si trovani i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati cartisiani

 

Elevendu à u quatratu è summendu s'otteni   è cusì si poni ritruvà i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati pularii

 
 

Ci voli à fà attinzioni ch'è a tangenti guniumetrica ùn esisti micca par   ed hè piriodica di 180° è dunqua ci voli à valutà priventivamenti a pusizioni di   par calculà di manera curretta  

 

Tiuremi trigunumetrichiMudificà

I tiuremi trigunumetrichi parmettini a risuluzioni di prublemi di natura diffarenti liata à a figura d'un triangulu qualsiasi, sprimendu i rapporti trà i lati è l'anguli di quist'ultimu.

Tiurema di a cordaMudificà

File:Teorema della corda.png
Tiurema di a corda in una circumfarenza

Data una circumfarenza è una corda  , u rapportu trà 'ssa corda è u sinu d'un qualsiasi angulu à a circumfarenza ch'è/chì insiste annantu à d'edda hè uguali à u diamitru di a circumfarenza:

 

Tiurema di i siniMudificà

Cunsidaratu un triangulu qualsiasi di lati  ,   è  , u rapportu trà i lati è i sini di l'anguli opposti rispittivi hè custanti è hè uguali à u diamitru di a circumfarenza circuscritta:

 

Tiurema di u cusinu o di CarnotMudificà

  U tiurema di u cusinu (chjamatu ancu tiurema di Carnot) afferma ch'è in un qualsiasi triangulu, u quatratu d'un latu hè uguali à a diffarenza trà a somma di i quatrati di l'altri dui lati è u doppiu pruduttu di 'ssi lati par u cusinu di l'angulu cumpresu trà eddi.

 .

Vali à dì, indichendu incù   a lunghezza di i lati è   l'anguli à eddi opposti, s'otteni

 
 
 

Pò essa cunsidaratu una generalisazioni di u Tiurema di Pitagora.

Risuluzioni di i trianguli qualsiasiMudificà

 
Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu

In u ghjergu matematicu risolva un triangulu significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par risolva un triangulu qualsiasi devini essa cunnisciuti trè elementi frà i quali almenu unu devi essa un latu. Si poni prisintà quattru casi:

  1. sò cunnisciuti un latu è dui anguli
  2. sò cunnisciuti trè lati
  3. sò cunnisciuti dui lati è l'angulu cumpresu
  4. sò cunnisciuti dui lati è un di i dui anguli opposti à i lati dati

A numinclatura di i lati è di l'anguli segue a cunvinzioni nantu à a figura.

Risolva un triangulu cunnisciuti un latu (a) è dui anguli  Mudificà

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i siguenti cundizioni

 

in casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguentiMudificà

  1. Calculà l'angulu mancanti  
  2. Calculà u latu scunnisciutu   imprudendu u tiurema di i sini:  
  3. Calculà u latu scunnisciutu   imprudendu u tiurema di i sini:  

Risolva un triangulu cunnisciuti i trè lati (a, b, c)Mudificà

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i disugualità triangulari. In casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguentiMudificà

  1. calculà l'angulu   par via di u tiurema di u cusinu:  
  2. calculà l'angulu   par via di u tiurema di u cusinu:  
  3. calculà l'angulu mancanti  

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu cumpresu  Mudificà

U prublemu hà sempri una sola suluzioni

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguentiMudificà

  1. calculà u latu   (oppostu à l'angulu  ) par via di u tiurema di u cusinu:  
  2. calculà l'angulu   (oppostu à u latu a) par via di u tiurema di u cusinu:  
  3. calculà l'angulu mancanti  

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu   oppostu à u latu aMudificà

U prublemu pò avè nisciuna suluzioni, una suluzioni o dui suluzioni.

  1. Si calculeghja l'angulu scunnisciutu   incù u tiurema di i sini  
  2. S'è   hè ottusu si uttinarà un solu angulu   acutu, altrimenti si trova ancu  .
  3. Si calculeghja   è eventualmenti  
  4. Si calculeghja   è eventualmente   imprudendu u tiurema di i sini  

Etimulugia di i nomaMudificà

Com'è par u restu di i lingui rumanichi, a lingua corsa teni i noma di i funzioni trigunumetrichi da i paroli currispundenti latini. A parola tangenti hè da latinu tangens, littiralamenti "chì tocca", in rifirimentu à i prubità giumetrichi di u sigmentu imprudatu par a difinizioni grafica di sta funzioni. Analugamenti si spiega l'etimulugia di a secanti, in latinu secans, "chì taglia". I paroli cusinu, cutangenti è cusecanti diriveghjani da a cuntrazzioni di i rispittivi paroli latini cumplimenti sinus, cumplimenti tangens, cumplimenti secans, vali a dì "sinu di l'angulu cumplimintariu", "tangenti di l'angulu cumplimintaria", "secanti di l'angulu cumplimintariu".

NotiMudificà

  1. I nutazioni incù espunenti negativu usati par i funzioni sin−1, cos−1, etc. (usati à spessu in i calculatrici scentifichi) ùn facini micca rifirimentu à i putenzi, ma indicheghjani solu u fattu ch'eddi sò i funzioni inversi di i funzioni trigunumetrichi rispittivi. Par via di cunsiquenza, à menu ch'eddu ùn fussi esplicitamenti indicatu, s'utteni:
     

Da veda dinòMudificà

FontiMudificà

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.