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Datu un triangulu rittangulu, u cusinu d'un angulu acutu hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu aghjacenti à l'angulu è di l'iputenusa

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u cusinu di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu aghjacenti à l'angulu è di l'iputenusa.

Di manera generali, u cusinu d'un angulu , aspressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da , custruita usendu a circumfarenza unitaria.

Difiniscendu com'è u valori di u cusinu in l'angulu , s'otteni a funzioni cusinu, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

DifinizioniMudificà

In u triangulu rossu nantu à a figura, u cusinu di x hè datu da:   Più in generali, si difinisci u cusinu pigliendu una circumfarenza di raghju unitariu è una mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu   incù l'assu di l'ascissi com'è nantu à a figura. U cusinu di l'angulu   hè difinitu cusì com'è u valori di a cuurdinata   di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu  ).

A tavuledda siguenti esponni i principali valori nutevuli assunti da a funzioni cusinu:

  in radianti 0              
  in gradi 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
  1    

  || 0 || -1 || 0 || 1

Esisti un'antra difinizioni di cusinu in rilazioni à i rutazioni: u cusinu d'un angulu   hè u cumpunenti longu l'assu di l'ascissi di u virsori  , virsori di l'assu  , ghjiratu di  .

Funzioni cusinuMudificà

A funzioni cusinu hè difinita assucendu à   u cusinu di l'angulu   (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù  . Apposta ch'è   è   difiniscini u stessu angulu par qualsiasi   intreiu, a funzioni cusinu hè una funzioni piriodica di periodu   (induva   hè l'angulu ghjiru). A curva di u graficu di sta funzioni hè dinuminata cusinusoidi. L'insemu di variabilità di a funzioni cusinu hè  , veni à dì applichendu 'ssa funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà   è  , estremi inclusi.

 
Ripprisintazioni grafica d'una cusinusoidi.


Cusinu è sinuMudificà

 
Valori principali (cusinu, sinu)

Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali, ditta equazioni fundamintali di a trigunumitria, o unità guniumetrica:

 

chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora.

Prubità analitichi di u cusinuMudificà

A dirivata di a funzioni cusinu hè l'oppostu di a funzioni sinu. T'avemu dunqua:  

Quissa pò essa dimustrata applichendu una formula di prustaferesi par calculà a limita di u rapportu incrimintali di u cusinu:

 [1].

A dirivata siconda di u cusinu hè a funzioni stessa cambiata di segnu:

 

par via di cunsiquenza, a funzioni cusinu com'è a funzioni sinu) risolvi l'equazioni diffarinziali

 ,

chì discrivi u motu d'un uscillatori armonicu ideali libaru.

A funzioni cusinu hè una funzioni à dirivati equilimitati (s'hà infatti   per ogni  ), ed hè par via di cunsiquenza analitica; a so espansioni in seria di Taylor hè:    

par ogni   riali.

In analisa matematica 'ss'ugualità hè à spessu usata par difiniscia u cusinu. Listessa seria difinisci u cusinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

Equazioni fundamintali rilativi à u cusinuMudificà

Vali a siguenti formula d'addizionisuttrazzioni) d'archi:

 

è in particulari a formula di duplicazioni

 

I siguenti sò i furmuli di prustaferesi rilativi à u cusinu:

 
 

Vali ancu a catena di disugualità:

 

Si cunsidareghja a circumfarenza unitaria, è sii  , com'è nantu à a figura.

Si tracci a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu   (antiurariu) rispettu à u mezassu pusitivu di l'ascissi. Tandu i cuurdinati di u puntu d'intarsizioni   di a mezaretta incù a circumfarenza sò  . Si traccia u sigmentu chì unisci   à u puntu  . Sii inoltri   u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a retta d'ascissa   (assu di i tangenti).   hà cuurdinati  .

Si nota ch'è u triangulu   hè strittamenti rinchjusu in u sittori circulari  , u quali hè rinchjusu strittamenti in u triangulu  . Vali tandu a disugualità di i rispittivi arii (si ricorda ch'è   hè l'angulu, aspressu in radianti):

 

veni à dì

 

Da a prima parti di a disugualità si ricava ch'è  , mentri cunsidarendu a siconda, dividendu veni à dì par   (ciò chì hè pussibuli parchì  ), s'utteni:

 

veni à dì

 

induva à a fini s'hè multiplicatu par   è par  , ciò chì priserva u versu di a disugualità parchì sò tremindù pusitivi. Ricapitulendu i risultati,

 

Q.E.D..

}}

Esisti ancu una'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni cusinu à a funzioni tangenti:

 [2].

st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u sinu, ciò chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni incù a scunnisciuta  . Di listessa manera, si pò sfruttà sta rilazioni par u calculu di i primitivi di funzioni guniumetrichi.

Difinizioni currilatiMudificà

  • U reciprocu di u cusinu (difinitu induva u cusinu hè diffarenti da zeru) hè a secanti:
 
  • A funzioni cusinu hè iniettiva nantu à l'intarvallu   è hà dunqua una inversa, chjamata arcucusinu (indicatu incù   o incù   chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa).

Urighjina di u nomuMudificà

U terminu cusinu stà par "cumplimintariu di u sinu". Infatti, par anguli trà   è  , u cusinu d'un angulu hè u sinu di l'angulu cumplimintariu, veni à dì :  sta rilazioni, chì si ricava da i furmuli di somma d'archi, hè valida par ogni  ; eppuri a nuzioni giumetrica d'angulu cumplimintariu s'applicheghja solu l'anguli pusitivi, è dunqua cumpresi trà   è  .

NotiMudificà

  1. L'ultimu passaghju faci usu di u limita nutevuli:
     
    chì si pò dimustrà giumitricamenti.
  2. Infatti s'hà, in virtù di l'unità guniumetrica è dividendu par   (affinch'è ùn fussi micca nullu), l'idantità
     .

Da veda dinòMudificà

FontiMudificà

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.