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Datu un triangulu rittangulu, u sinu d'un angulu acutu hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu oppostu à l'angulu è di l'iputenusa

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u sinu di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu oppostu à l'angulu è di l'iputenusa.

Più in generali, u sinu d'un angulu , espressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da , custruita usendu a circumfarenza unitaria.

Difiniscendu com'è u sinu in l'angulu , s'otteni a funzioni sinu, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

DifinizioniMudificà

In u triangulu rossu annantu à a figura, u sinu di   hè datu da

 

Più in generali, si difinisci u sinu d'un angulu   (aspressu in gradi o radianti) à parta da a circumfarenza guniumetrica, vali à dì da a circumfarenza di raghju unitariu in u pianu cartisianu. Presa a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu   incù l'assu di l'ascissi com'è annantu à a figura, u sinu di l'angulu hè dunqua difinitu com'è u valori di a cuurdinata   di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu  ).

U duminiu di a funzioni sinu hè l'insemu di i numari riali, mentri u cuduminiu hè l'intarvallu riali  , veni à dì applichendu tali funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà   è  , estremi inclusi.

A tavuledda siguenti esponi i principali valori nutevuli assunti da a funzioni sinu:

  in radianti 0              
  in gradi 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
                 

In i testi di matematica u sinu di   hè di solitu indicatu incù a nutazioni  , induva   hè un'abbriviazioni di u latinu sinus usata ancu in i paesi di lingua inglesa.

Esisti un'altra difinizioni di sinu chì si cullega à i rutazioni: u sinu d'un angulu   hè u cumpunenti longu l'assu di l'urdinati di u virsori  , virsori di l'assu di l'ascissi, ghjiratu di  .

Funzioni sinuMudificà

A funzioni sinu hè difinita assucendu à   u sinu di l'angulu   (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù  . postu ch'è   è   definiscini u stessu angulu, a funzioni sinu hè una funzioni piriodica di periodu   (induva   hè l'angulu ghjiru).

 
Ripprisintazioni grafica di a funzioni sinu
 
Disegnu y = sin(x) usendu u chjerchju trigunumetricu unitariu.

Sinu è cusinuMudificà

Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali:

 

chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora. Infatti in u triangulu   in a figura in altu u cusinu di   hè difinitu com'è

 

D'altra parti u tiurema di Pitagora applicatu à u triangulu   furnisci a rilazioni: è dunqua:  Vali ancu a rilazioni:

 

Com'è par u cusinu, a cusecanti d'un angulu  divisu u sinu di l'angulu.

Prubità analitichi di a funzioni sinuMudificà

 
A funzioni sinu (in turchinu) è a so apprussimazioni data da u pulinomiu di Taylor di 7º gradu (rusulatu).

A dirivata di a funzioni sinu hè a funzioni cusinu. Avemu veni à dì:  A dirivata siconda hè inveci:  A funzioni sinu hè una funzioni analitica, è a so espansioni in seria di Taylor hè:  In analisa matematica st'ugualità hè spessu usata par difiniscia u sinu. A stessa seria difinisci u sinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

Equazioni fundamintali rilativi à u sinuMudificà

Si rapportani quì di seguitu parechji equazioni fundamintali riguardu à a funzioni sinu;

 
 
 

incù l`aghjunta di a cundizioni ch'è:

 

Esisti ancu un'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni sinu è a funzioni tangenti:

 

st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u cusinu, u chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni in a scunnisciuta  .

Difinizioni currilatiMudificà

 
  • A funzioni sinu, ristretta à l'intarvallu  iniettiva è dunqua hà una inversa, chjamata arcusinu (indicatu incù   o incù   chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa). Par difinizioni s'hà dunqua:
 

Storia è urighjina di u nomuMudificà

U cuncettu di sinu fù introduttu da u matematicu è astrunomu indiana Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) (476 - 550) in a so opara Aryabhatiya (499).

U sinu hè par difinizioni a mità d'una corda, veni à dì un sigmentu chì unisci dui punti (ditti estremi) d'una circumfarenza. A parola sanscrita par mità cordajya-ardha, calchì volta sustituitu incù ardha-jya è abbriviatu in jya (corda). Stu terminu fù impurtatu in a lingua araba com'è jiba, un terminu senza significatu prima di tandu ma chì riflittia a prununcia funetica di u nomu jya. Sicondu i reguli di a lingua araba, 'ssu nomu fù scrittu incù i dui cunsunanti jb, senza vucali. Più dopu, quandu i traduttori uccidintali ebbini cunniscenza di i fonti arabi, intarpritàni a parola jb com'è jaib, chì u so significatu era baia. Infini, u talianu Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradussi a parola in latinu com'è sinus, di a quali u significatu era par appuntu baia.

U sinu d'un angulu hè indicatu incù  .

Da veda dinòMudificà

NotiMudificà


FontiMudificà

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.