Triangulu

In giumitria, u triangulu hè un poligunu furmatu da trè anguli o vertici è da trè lati. Ripprisenta a figura incù u più picculu numaru di lati, chì trè hè u numaru minimu di sigmenti nicissarii par dilimità una superficia chjusa.

Carattaristichi di u triangulu

A somma di l'anguli interni d'un triangulu hè uguali à 180°.

U triangulu hè carattarizatu da i siguenti prubità:

hè una figura indifurmevuli, à a diffarenza di i poliguni incù un grandi numaru di lati; assignati i lunghezzi di i lati, sò ditarminati univucamenti ancu l'anguli;
hè l'unicu poligunu par u quali ùn hè micca richiestu ch'eddu sii rigulari parch'eddu si pudissi circuscriva è iscriva una circumfarenza, parchì par trè punti passa sempri una è una sola circumfarenza;
a somma di l'anguli interni hè uguali à un angulu paru, veni à dì 180°, essendu quantunqua pricisatu chì 'ss'ugualità vali sultantu in a giumitria euclidea è micca in altri tipi di giumitria com'è a giumitria sferica è quidda iperbolica, induva inveci 'ssa somma hè, rispittivamenti, più maiori è minori ch'è 180°;
a somma di dui lati devi essa sempri più grandi ch'è u terzu latu, è à a diffarenza di dui lati devi essa sempri più minori ch'è u terzu latu.

Dui trianguli sò cungruenti s'eddi suddisfani alminu un di i criterii di cungruenza.

Dui trianguli si dicini simili s'eddi suddisfani alminu un di i criterii di similitudina.

Classificazioni di i trianguli

I trianguli poni essa classificati siont'è a lunghezza rilativa di i lati:

In un triangulu equilateru tutti i lati ani una lunghezza uguali. Un triangulu equilateru si pò difiniscia di manera equivalenti com'è triangulu equiangulu, vali à dì un triangulu chì t'hà i so anguli interni di uguali ampiezza, para à 60°.
In un triangulu isusceli dui lati ani una lunghezza uguali. Un triangulu isusceli si pò difiniscia di manera equivalenti com'è un triangulu chì t'hà dui anguli interni di uguali ampiezza.
In un triangulu scalenu tutti i lati ani lunghezzi diffarenti. Un triangulu scalenu si pò difiniscia di manera equivalenti com'è un triangulu avendu i trè anguli interni d'ampiezzi diffarenti.


Equilateru	Isusceli	Scalenu

I trianguli poni essa classificati ancu siont'è i diminsioni di u so angulu internu più ampiu; sò discritti di seguitu usendu i gradi d'arcu.

Un triangulu rettu (o triangulu rittangulu) hà un angulu internu di 90°, veni à dì un angulu rettu. U latu oppostu à l'angulu rettu hè dittu iputenusa; hè u latu più longu di u triangulu rettu. L'altri dui lati di u triangulu sò ditti cateti. Par stu triangulu vali u tiurema di Pitagora.
Un triangulu ottusu hà un angulu internu di più di 90°, veni à dì un angulu ottusu.
Un triangulu acutu hà tutti l'anguli interni di più di 90°, veni à dì t'hà trè anguli acuti.
Un triangulu equiangulu, veni à dì s'è hà tutti l'anguli interni uguali, veni à dì di 60°.

Par i trianguli chì ùn sò micca rittanguli vali una generalisazioni di u tiurema di Pitagora cunnisciuta in trigunumitria com'è tiurema di Carnot.


Rittangulu	Angulu ottusu	Angulu acutu

Punti nutevuli

À ogni triangulu sò assuciati parechji punti, ciascunu di i quali assumi un rollu chì, in calchì manera, u qualificheghja com'è cintrali par u triangulu stessu. Si poni definiscia sti punti di manera cuncisa riferendu si à un triangulu $T$ di u quali dinutemu cù $A$ , $B$ è $C$ i vertici è i lati opposti rispittivamenti cù $a$ , $b$ è $c$ .

l'ortucentru di $T$ hè l'intersizzioni di i so altezzi;
u baricentru o cintroidi di $T$ hè l'intersizzioni di i so midiani;
l'incentru di $T$ hè l'intersizzioni di i so trè bisettrici, vali à dì u centru di l'inchjerchju di $T$ ;
u circucentru di $T$ hè l'intersizzioni di i so trè assi, vali à dì u centru di a so circumfarenza circuscritta (vedi circumchjerchju);
l'excentru di $T$ oppostu à un di i so vertici $A$ hè l'intersizzioni di a so bisettrici in $A$ è di i dui bisettrici esterni rilativi à i dui vertici rimanenti $B$ è $C$ ;
u puntu di Bevan di $T$ hè u circucentru di u triangulu excintrali di $T$ ;
u puntu d'Apolloniu di $T$ hè l'intersizzioni di i trè sigmenti chì rispittivamenti uniscini un vertici $A$ di $T$ incù u puntu in u quali l'exchjerchju di $T$ oppostu à $A$ hè tangenti à u chjerchju tangenti à i trè exchjerchji di $T$ ;
u puntu di Gergonne di $T$ hè l'intersizzioni di i trè sigmenti chì rispittivamenti uniscini un vertici $A$ di $T$ incù u puntu in u quali u latu di $T$ oppostu à $A$ hè tangenti di l'inchjerchju di $T$ ;
u puntu di Nagel di $T$ hè l'intersizzioni di i trè sigmenti ciascunu di i quali unisci un vertici di $T$ incù u puntu in u quali u so latu oppostu hè tangenti di u currispundenti exchjerchju;
u puntu di Nabulionu di $T$ hè l'intersizzioni di i trè sigmenti chì cullegani ognunu di i so vertici $A$ incù u centru di u triangulu equilateru custruitu, esternamenti à $T$ , nantu à u latu $a$ oppostu à $A$ ;
u centru di i novi punti di $T$ hè u centru di u cusiddittu chjerchju di i novi punti (o chjerchju di Feuerbach) di $T$ ; sti novi punti cumprendini i trè punti medii di i lati di $T$ , i trè peda di l'altezzi di $T$ , i punti medii di i trè sigmenti ciascunu di i quali unisci un vertici di $T$ incù l'ortucentru di $T$ .

Formuli

Formuli trigunumetrichi

S'appiega a trigunumitria par truvà l'altezza

h

L'aria d'un triangulu pò essa truvata par via trigunumetrica. Usendu i lettari di a figura à dritta, l'altezza $h=a\sin \gamma$ . Sustituiscendu quissa in a formula truvata innanzi (par via giumetrica), $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$ . L'aria d'un triangulu hè dunqua ancu uguali à u mezu pruduttu di dui lati par u sinu di l'angulu cumpresu.

Par via di cunsiquenza, par l'idantità $\sin x=\sin(\pi -x)$ , l'aria d'un qualsiasi triangulu incù i dui lati $a$ è $b$ è l'angulu cumpresu $\gamma$ , hè uguali à l'aria di u triangulu incù i stessi lati $a$ è $b$ ma incù l'angulu cumpresu supplimintariu $(\pi -\gamma )$

L'aria d'un parallelugramma incù dui lati aghjacenti $a$ è $b$ è angulu cumpresu $\gamma$ hè u doppiu di quidda di u triangulu chì hà i stessi dati, veni à dì $ab\sin \gamma$ .

Par risolva u triangulu, veni à dì ditarminà a misura di tutti i lati è anguli, dati dui lati è l'angulu cumpresu frà eddi, o un latu è i dui anguli aghjacenti, s'usani u tiurema di i sini è u tiurema di u cusinu, quist'ultimu essendu megliu cunnisciutu cù u nomu di tiurema di Carnot.

L'aria $A$ di u triangulu pò essa misurata incù a formula matematica:

A={\frac {bh}{2}},

induva $b$ hè a basa è $h$ l'altezza à edda rilativa, parchì u triangulu hè cunsidaratu com'è a mità d'un parallelugramma di basa $b$ è altezza $h$ .

Di manera altirnativa l'aria di u triangulu pò essa calculata incù

A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},

induva $a$ , $b$ è $c$ sò i lati è $p$ u mezu perimetru (Formula d'Erone).

Formuli analitichi

Cunsidarendu un triangulu $ABC$ in u pianu cartesianu individuatu par via di i coppii di cuurdinati di i vertici $(x_{A},y_{A}),(x_{B},y_{B}),(x_{C},y_{C})$ .

A so aria $A$ hè datu da l'esprissioni

A={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}(y_{B}-y_{C})-x_{B}(y_{A}-y_{C})+x_{C}(y_{A}-y_{B}){\big |},

oppuri incù un'esprissioni chì ùn improda micca u cuncettu di matrici

A={\frac {{\big |}(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{B})+(y_{B}-y_{C})(x_{B}-x_{A}){\big |}}{2}},

oppuri

A=(x_{M}-x_{m})(y_{M}-y_{m})-\left({\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}-x_{B}{\big |}{\big |}y_{A}-y_{B}{\big |}+{\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}-x_{C}{\big |}{\big |}y_{A}-y_{C}{\big |}+{\frac {1}{2}}{\big |}x_{B}-x_{C}{\big |}{\big |}y_{B}-y_{C}{\big |}\right),

induva

x_{M}=\mathrm {max} \{x_{A},x_{B},x_{C}\}

x_{m}=\mathrm {min} \{x_{A},x_{B},x_{C}\}

y_{M}=\mathrm {max} \{y_{A},y_{B},y_{C}\}

y_{m}=\mathrm {min} \{y_{A},y_{B},y_{C}\}

è u so perimetru $P$ hè datu da

P={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}+{\sqrt {(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}}+{\sqrt {(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}}.

Giumitrii non euclidei

U cuncettu di triangulu si stendi ed hè ampiamenti usatu in tutti i giumitrii non euclidei. Un triangulu in una giumitria non euclidea si distingui in generali par u fattu ch'è a somma di i so anguli interni ùn hè micca 180°: sta somma hè infiriori à 180° par ogni triangulu in u casu d'una giumitria iperbolica, mentri edda hè supiriori par ogni triangulu in u casu d'una giumitria ellittica

Liami esterni

Da vede dinò

Noti

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.