Triangulu isusceli

Hè difinitu com'è triangulu isusceli un triangulu chì pussedi almenu dui lati uguali è chì pussedi almenu dui anguli uguali. Infatti vali u siguenti tiurema: un triangulu hà dui lati uguali solu s'è hà dui anguli uguali è viciversa.

Triangulu Isusceli

Stu tiurema custituisci a quinta prupusizioni di u Libru I di l'Elementi di Euclide è hè cunnisciutu com'è Pons asinorum, u "ponti di l'asini".

Particulari trianguli isusceli sò i trianguli equilateri è i trianguli rittanguli isusceli. Esistini ancu trianguli isusceli acutanguli è ottusanguli.

I trianguli isusceli rittanguli sò tutti simili trà eddi, com'è i trianguli equilateri.

Simitrii

Un triangulu isusceli chì ùn hè micca equilateru hè invarianti solu par a riflissioni rispettu à a bisettrici di l'angulu diffarenti da i dui rimanenti. U so gruppu di simitria, in più di à a trasfurmazioni idantità, cumprendi solu quista riflissioni è dunqua hè isumorfu à u gruppu di dui elementi, vali à dì à u gruppu multiplicativu nantu à l'insemu {1, −1}.

Trianguli isusceli in giumitria analitica

Tiurema 1: Cundizioni nicissaria è sufficienti affinch'è un triangulu incù a basa parallela à l'assi sii isusceli hè ch'eddu agvissi i dui lati di cuefficienti angulari oppostu.

Dimustrazioni.

Dati i trè retti

1. $y=k$
2. $y=mx$
3. $y=-mx$

si ni calculeghja l'intersizzioni.

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=k\\&y=mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {k}{m}}\\&y=m\end{array}}\right.$

$A\left({\frac {k}{m}},m\right)$

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=k\\&y=-mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x=-{\frac {k}{m}}\\&y=m\end{array}}\right.$

$B\left(-{\frac {k}{m}},m\right)$

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=mx\\&y=-mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x=0\\&y=0\end{array}}\right.$

${\rm {C}}(0,0)$

Tandu si calculeghja a distanza di i sigmenti AC è BC.

$AC={\sqrt {\left({\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}}$

$BC={\sqrt {\left(-{\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}}$

Dunqua u triangulu hè isusceli nantu à a basa AB. Di manera analuga si dimostra u casu di a basa parallela à l'assi y.

Viciversa si custruisci un triangulu isusceli incù a basa parallela à l'assi di l'ascissi.

Dati i dui punti:

1. ${\rm {A}}(x_{1},k)$
2. ${\rm {B}}(x_{2},k)$

apposta ch'è u vertici d'un triangulu isusceli ghjaci nantu à a stessa retta di u puntu mediu di a basa, prima si trova $M$ è dopu $C$.

$M\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},k\right)$

Dunqua si trova $C$, chì avarà listessa ascissa ch'è $M$ è diffarenti urdinata.

$C\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},h\right)$

Si verificheghja ch'è u triangulu hè isusceli:

$AC={\sqrt {\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}}$

$BC={\sqrt {\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}}$

Tandu si calculeghja u cuefficienti angulari di i dui lati:

$mAC=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{2}-x_{1}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{2}-x_{1}}}$

$mBC=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{1}-x_{2}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{1}-x_{2}}}$

Tiurema 2: Cundizioni nicissaria è sufficienti affinch'è un triangulu incù a basa parallela à a bisettrici di dui quadranti sii isusceli hè ch'eddu avissi i dui lati di cuefficienti angulari inversi.

Dimustrazioni.

Dati i trè retti

1. $y=x+q$
2. $y=mx$
3. $y={\frac {1}{m}}x$

si ni calculeghja l'intersizzioni.

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=x+q\\&y=mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x(m-1)=q\\&y=mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {q}{m-1}}\\&y={\frac {mq}{m-1}}\end{array}}\right.$

$A\left({\frac {q}{m-1}},{\frac {mq}{m-1}}\right)$

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=x+q\\&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x(1-m)=mq\\&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {mq}{1-m}}\\&y={\frac {q}{1-m}}\end{array}}\right.$

$B\left({\frac {mq}{1-m}},{\frac {q}{1-m}}\right)$

$\left\{{\begin{array}{rl}&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x=0\\&y=0\end{array}}\right.$

${\rm {C}}(0,0)$

Tandu si calculeghja a distanza di i sigmenti AC è BC.

$AC={\sqrt {\left({\frac {q}{m-1}}\right)^{2}+\left({\frac {mq}{m-1}}\right)^{2}}}$

$BC={\sqrt {\left({\frac {mq}{1-m}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{1-m}}\right)^{2}}}$

Dunqua u triangulu hè isusceli nantu à a basa AB. In modu analugu si dimostra u casu di a basa parallela à l'assi y.

Viciversa si custruisci un triangulu isusceli incù a basa parallela à a bisettrici di u prima è terzu quadranti. (Listessa cosa vali par quidda parallela à a bisettrici di u sicondu è quartu quadranti).

Dati i dui punti:

1. ${\rm {A}}(0,q)$
2. ${\rm {B}}(-q,0)$

postu ch'è u vertici d'un triangulu isusceli ghjaci nantu à a stessa retta di u puntu mediu di a basa, prima si trova $M$ è eppo/dopu $C$.

$M\left(-{\frac {q}{2}},{\frac {q}{2}}\right)$

Dunqua si trova $C$, chì si trova nantu à a retta parpindiculari à a basa è passanti par $M$, $y=-x$.

$C(h,-h)$ induva h hè un numaru arbitrariu diffarenti da 0.

Si verificheghja chì u triangulu hè isusceli:

$AC={\sqrt {h^{2}+(q+h)^{2}}}$

$BC={\sqrt {(-q-h)^{2}+h^{2}}}$

Tandu si calculeghja u cuefficienti angulari di i dui lati:

$mAC={\frac {-h-q}{h}}=-{\frac {h+q}{h}}$

$mBC={\frac {-h}{h+q}}=-{\frac {h}{h+q}}$

Da veda dinò

• Triangulu
• Triangulu equilateru
• Triangulu scalenu
• Tiurema direttu di i trianguli isusceli
• Toru (giumitria)
• Giumitria piana
• Angulu rettu
• Catetu
• Mezaretta
• Perimetru
• Sigmentu
• Triangulu equilateru
• Tiurema di Pitagora
• Iputenusa
• Tangenti
• Trigunumitria
• Uttaedru

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.