Omeumurfismu

In matematica, è più pricisamenti in tupulugia, un omeumurfismu (da u grecu homoios = simili è morphe = forma, da ùn cunfonda micca incù omumurfismu) hè una funzioni particulari frà spazii tupulogichi chì mudiddizighja l'idea intuitiva di "difurmazioni senza strappi".

Una tazzina è una ciambedda sò omeumorfi. Da a "difurmazioni senza strappi" mustrata nantu à a figura si pò difatti custruiscia un omeumurfismu frà i dui ughjetti.

A nuzioni d'omeumurfismu hè monda impurtanti in tupulugia. Dui spazii tupulogichi $X$ è $Y$ culligati da un omeumurfismu sò ditti omeumorfi: da un puntu di vista tupulogicu, quisti sò praticamenti uguali. In particulari, ani listessi invarianti tupulogichi.

Difinizioni

Un omeumurfismu frà dui spazii tupulogichi $X$ è $Y$ hè una funzioni cuntinua $f:X\to Y$chì hè ancu biunivoca è di a quali a inversa $f^{-1}:Y\to X$ hè anch'idda cuntinua.

Una difinizioni equivalenti hè a siguenti: un omeumurfismu hè una currispundenza biunivoca $f:X\to Y$ frà spazii tupulogichi tali ch'è un suttuinsemu $A$ di $X$ hè apartu s'è è solu s'idduu hè a so imaghjini $f(A)$ in $Y$. Brevamenti, hè una currispundenza biunivoca frà spazii tupulogichi chì induci una currispundenza biunivoca frà i so aparti.

S'iddu esisti un omeumurfismu trà $X$ è $Y$, i dui spazii sò ditti omeumorfi. A rilazioni d'omeumurfismu frà spazii tupulogichi hè una rilazioni d'equivalenza.

Asempii

Intarvalli di a retta riali

Sighini $a<b$ dui numari riali. A funzioni

$f:[0,1]\to [a,b]$

$f:x\mapsto a+(b-a)x$

hè un omeumurfismu. Infatti hè cuntinua, biunivoca, è a so inversa

$f^{-1}:[a,b]\to [0,1]$

$f^{-1}:y\mapsto {\frac {y-a}{b-a}}$

hè anch'idda cuntinua. Ogni intarvallu chjusu è limitatu $[a,b]$ hè dunqua omeumorfu à l'intarvallu $[0,1]$. Da a prubità transitiva suvita quinci ch'è l'intarvalli chjusi è limitati sò tutti omeumorfi frà iddi.

Si virifichighja analugamenti ch'è l'intarvalli aparti $(a,b)$ sò tutti omeumorfi frà iddi. È ancu: un intarvallu apartu hè omeumorfu à l'intreia retta riali $\mathbb {R}$ par via di a funzioni tangenti

$f:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R}$

$f:x\mapsto \tan x.$

chì hè biunivoca, cuntinua è incù inversa cuntinua (a funzioni arcutangenti). A limitatezza ùn hè micca dunqua un invarianti tupulogicu: un spaziu limitatu com'è $(0,1)$ pò essa omeumorfu à un spaziu illimitatu, com'è $\mathbb {R}$.

Prubità

Dui spazii omeumorfi ani asattamenti listessi prubità tupulogichi (siparabilità, cunnissioni, simplicia cunnissioni, cumpattezza...). In u linguaghju di a tiuria di i catigurii, si dice ch'è un omeumurfismu hè un isumurfismu trà spazii tupulogichi.

Bibliugrafia

• Edoardo Sernesi, Giumitria 2, Bollati Boringhieri, Turinu 2006, ISBN 88-339-5548-6.

Da vida dinò

• Omeumurfismu lucali
• Isumurfismu
• Omeumurfismu (tiuria di i grafi)

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.