Analisi funzionale (matematiche)

L'analisi funzionale hè u ramu di e matematiche è più particularmente l']]analisi chì studieghja i spazii di funzione. Piglia e so radiche storiche in u studiu di e trasfurmazione tale a trasfurmazione di Fourier è in u studiu di l'equazione differenziale o integrodifferenziale.

U termine funzionale trova a so origine in u quatru di u calculu di e variazione, per designà e funzione frà e quale l'argumenti sò e funzione. U so impiegu hè statu generalizatu à nuvelli campi da u matematicu è fisicu [[Italia|talianu Vito Volterra. U matematicu polaccu Stefan Banach hè à spessu cunsideratu cum'è u fundatore di l'analisi funzionale muderna.

I spazii di l'analisi funzionale

I spazii di basa di l'analisi funzionale sò i spazii vetturiali nurmati cumpletti annantu à u corpu di i numeri reali o di i numeri cumplessi. Tali spazii sò chjamati i spazii di Banach. I spazii di Hilbert custituiscenu un casu particulare umpurtante induve a norma hè esciuta da un produttu scalaru. Quist'ultimi ghjocanu per indettu un rollu impurtante in a formulazione matematica di a meccanica quantica. L'analisi funzionale pò ancu esse effittuata in un quatru più generale, quellu di i spazii vetturiali tupulogichi, tali i spazii di Fréchet.

Ogetti di studiu impurtante in analisi funzionale sò l'operatori lineari cuntinui definiti annantu à i spazii di Banach è di Hilbert. Quessi portanu naturalmente à a definizione di i C-algebre.

I spazii di Hilbert ponu esse classificati cumplittamente : esiste un spaziu di Hilbert singulu à un isumurfismu vicinu per ogni cardinale di a basa hilbertiana. I spazii di Hilbert di dimensione finita sò à l'intuttu cunnisciuti in algebra lineare, è i spazii di Hilbert siparevuli sò isumorfi à u spaziu di seguite ℓ2. A siparabilità essendu impurtante per l'appiicazione, l'analisi funzionale di i spazii di Hilbert tratta soprattuttu di stu spaziu è di i so murfismi. Unu di i prublemi aperti in analisi funzionale hè di pruvà ch'è ogni operatore limitatu annantu à un spaziu di Hilbert siparevule pussede un sottuspaziu stabile chjusu micca triviale. 'Ssu prublema di u sottuspaziu invariante hè ghjà statu risoltu in assai casi particulari.

I spazii di Banach sò assai più cumplicati à studià ch'è i spazii di Hilbert. Ùn ci hè micca definizione unica di ciò chì puderia custituisce una basa, per indettu.

Per ogni numeru reale p ≥ 1, un esempiu di spaziu di Banach hè datu da l'inseme di tutte e funzione misurevule in u sensu di Lebesgue chì a putenza p-esima di u valore assolutu hà un'integrale finita.

In i spazii di Banach, parte assai di u studiu implicheghja u duale tupulogicu : u spaziu di tutte e forme lineare cuntinue. Cum'è in algebra lineare, u biduale (u duale di u duale) ùn hè micca sempre isumorfu à u spaziu originale, ma ci hè sempre un murfismu iniettivu naturale di un spaziu in u so biduale.

A nuzione di derivata hè stesa à e funzione arbitrarie trà spazii di Banach per via di u cuncettu di differenziale ; a differenziale di Fréchet di una funzione in un certu puntu hè, quandu ella esiste, una certa appiicazione lineare cuntinua.

Uni pochi di risultati impurtanti d'analisi funzionale

• U principu di u terminale uniformu hè un risultatu annantu à l'insemi d'operatori limitati.
• U teurema spettrale dà una formula integrale per l'operatori nurmali annantu à un spaziu di Hilbert. Hè di un'impurtanza cintrale in a formulazione matematica di a meccanica quantica.
• U teurema di Hahn-Banach permette di prulungà e forme lineare definite annantu à un sottuspaziu à u spaziu sanu sanu, cunsirvendu ne a norma.
• Unu di i trionfi di l'analisi funzionale fubbe di mustrà ch'è l'atomu d'idrogenu era stabile.

Da vede dinù

• Spaziu di Hilbert
• Spaziu di Banach
• Algebra di Banach
• Spaziu funzionale
• Spaziu di Sobolev
• Teurema di Radon-Nikodym
• Analisi funzionale

Bibliugrafia

• Michele Willem, Analisi funzionale elementare, Cassini, 2003.
• Haïm Brézis, Analisi funzionale - Teuria è appiicazione archiviu, Dunod, 2005.
• Daniel Li, Corsu d'analisi funzionale incù 200 esercizii curretti, Ellisse, 2013.